sábado, 22 de junio de 2013

Doblando papel...

No. No se trata de origami, sino que simplemente de una pregunta y su desarrollo la cual se presenta a continuación:

"Si tenemos un papel de 0,01 milímetros de espesor (esto es la centésima parte de un milímetro, es decir, un milímetro dividido en 100 partes iguales) y lo doblamos por la mitad sucesivamente 54 veces. ¿Cuál es el grosor total del papel doblado?"

Antes de seguir leyendo, me gustaría que intentaras resolver el problema o simplemente imaginarte la situación ¿Cuáles crees que es la respuesta?¿Un metro?¿100 metros?

Primero que todo cabe destacar que doblar un papel 54 veces en la vida real no es posible (por lo menos hasta ahora). Los que lo han intentado no han podido
llegar a doblar un papel por la mitad sucesivamente más de 13 veces (acá puedes ver la noticia), por lo que este problema se vuelve hipotético.

Veamos la siguiente tabla y notemos como va creciendo el grosor del papel a medida que lo vamos doblando con ayuda de las potencias:


Podemos notar que al doblar el papel 13 veces este alcanzará un grosor de 81,92 milímetros, es decir, un poco más de 8 centímetros.

Se define acá una función exponencial de la siguiente manera: $$f(n)=0,01\cdot2^n\\$$ donde n corresponde a la cantidad de dobleces y f(n) es el grosor total del papel, cuyo gráfico es el siguiente:
Ésta curva es llamada "exponencial" asociada a un crecimiento veloz de elementos (que es el tipo de crecimiento que tienen las bacterias, el contagio de virus, algunos conceptos económicos y el crecimiento poblacional de los humanos). Ahora que conocemos la fórmula para calcular el grosor total del papel conociendo la cantidad de dobleces, calculemos que pasa en n=54: $$ f(54)=0,01\cdot2^{54}\\ f(54)=0,01\cdot18.014.398.509.481.984\\f(54)=180.143.985.094.819,84 $$

Es decir, que el grosor total del papel será de aproximadamente 180.143.985.094.820 milímetros (un poco más de ciento ochenta billones de milímetros). Para entenderlo mejor todos sabemos que un centímetro tiene diez milímetros y que un metro tiene cien centímetros, por lo tanto un metro tiene mil milímetros, transformando nuestro valor a metros nos quedan aproximadamente $$ 180.143.985.095 m$$ Algo así como ciento ochenta mil millones de metros, los que transformados a kilómetros nos queda la escalofriante cifra aproximada de: $$180.143.985Km$$Es decir, 180 millones de kilómetros, lo que es más de la distancia que hay de la tierra al sol (150 millones de kilómetros promedio).

Por lo tanto, ¡¡si doblamos un papel de 0,01mm de espesor 54 veces, el grosor de éste sería más grande que la distancia que hay de la tierra al sol!!

Simplemente impresionante.

Abrazos


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